1.煮蛋白硬、蛋黄半熟：在沸水（100度）的水中估计好时间煮一会儿就可以煮出煮蛋白硬、蛋黄半熟的鸡蛋。蛋黄的凝固点比蛋白低。在沸水里蛋壳外的温度即使近于一百度，但里面的蛋黄还不能马上达到六十七度。这里利用了传热所需要的时间差。

      煮蛋黄硬、蛋白半熟：在七十度左右的热水中，放置较长时间，即可煮出蛋黄硬、蛋白半熟的鸡蛋。把鸡蛋长时间放置在七十度左右的热水里，在这个温度下，蛋白只是稍微变硬了一点，但不会凝固，而蛋黄则慢慢开始凝固了。这里利用了两者的凝固点之差。

      2.在A、B两点之间往返运动。在A点放入时速度为零，受地心引力开始做加速运动，到达地心时，速度达到最快；过了地心向B点前进时，受地心引力开始做减速运动，最后在B点速度为零停止。然后重复这个运动。

      3.三千米。绳索加粗四倍，自然也就能承受四倍于原来的重量。但由于绳索本身的重量成了四倍，所以当绳索降到三千米的时候也要断掉。可以这样理解：断面积加大四倍，等于四股绳索拧在一起。既然每根都在在三千米时断掉，那么拧在一起的粗绳索也会在三千米时同样断掉。

      让他降低更深的方法之一：把绳索做成足够细长的圆锥形并让细长的一端先下到海里，由于圆锥的体积是底面积相同的圆柱体积的三分之一，即重量也只有其三分之一。所以尽管靠近海面的绳索粗度相同，但可以比一般绳索多降三倍的深度，即可以降到九千米深。

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几个有趣的问题

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      今天整理书架，突然翻到一本很薄很旧的书－－《科学之谜》。薄到什么程度？只有100多页。旧到什么程度？科学普及出版社1980年2月第一版，定价：0.36元。呵呵，0.36元是什么，估计很多人都没概念了。我记得这是我小学最喜欢看的书之一，当时本来是要应老师的要求打算捐给灾区的，因为舍不得还是留下了。

      随手翻了翻，发现里面有些问题还真有点意思，于是列几个题目给大家做做，如果大家又兴趣，可以在评论中写下自己的答案并加以解释，有一点注意：不要借助其他参考书，请自己思考。

      1.煮鸡蛋时怎样才能煮成蛋白硬、蛋黄半熟或者蛋黄硬、蛋白半熟呢？蛋白在八十度，蛋黄在六十七至六十八度就会完全凝固。

      2.如果能够在地球上A位置挖一个穿过地球中心的隧道到达B位置，从A的入口处投进一块石头，在假定石头不受空气阻力和地热影响的条件下，那么，这块石头将如何运动呢？

      3.向海底投下一根绳索，当降到三千米时，由于绳索本身的重量，在接近海面的地方断掉了。于是，制造了一根用同一材料所做，但比原来粗四倍的绳索。假设海的深度足够，试问这根粗绳索降到多少米才会断掉？有什么办法让它降低得尽可能深？

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关于《几个有趣的问题》的所谓“标准”的答案

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<命题>

      以升序排列的自然数组集合A和B，其median value分别为x和y（x≤y）;将A和B合并为一个新自然数组C，且同样以升序排列。试证明：其median value（假设为z）必然满足以下条件：x≤z≤y。

<说明>

      median value：中位数，即一组数从小到大（或者从大到小）排列，正中间的元素（若元素个数为偶数则为正中间两个元素的平均值）即为中位数。

      ascending order：升序排列，从小到大排列。

<证明>

⑴当集合A和B的元素个数为1

 

   则A中唯一元素为x，B中唯一元素为y，

   则集合C必然为{x,y}，

   则z=(x+y)/2，

   显然x≤z≤y；

 

⑵ 当集合A和B的元素个数大于1

 

   设集合A的元素个数为m，集合B的元素个数为n，

   则集合C的元素个数必然为m+n；

  

 ①显然在集合A中，值小于等于x的元素个数为m/2（m为偶数）或者(m-1)/2（m为奇数）；

   同理，在集合B中，值小于等于y的元素个数为n/2（n为偶数）或者(n-1)/2（n为奇数）；

   同理，在合并后的、升序排列的集合C中，值小于等于z的元素个数为(m+n)/2（m+n为偶数）或者(m+n-1)/2（m+n为奇数）；

 

   想象合并A和B的过程为：将A中的元素一一插入到B中，则显然在新集合C中，因为x≤y，至少原来A集合中的小于等于x的元素（包括x在内）必然将插入到B中的y的左边，此时y的左边（即小于等于y）元素个数至少为：

   (m+n)/2 + 1（m、n都为偶数，m+n为偶数）

   或者(m+n-1)/2 + 1（m为奇数n为偶数，m+n为奇数）

   或者(m+n-1)/2 + 1（m为偶数n为奇数，m+n为奇数）

   或者(m+n-2)/2 + 1（m、n都为奇数，m+n为偶数）。

 

   （说明：+ 1表示将x包括在内，但实际上，只有集合A元素个数m为奇数时，x才是实际存在的元素，需要+ 1；而m为偶数的时候，x只是集合A正中间两个元素的平均值，不是实际存在的元素。由此可见m为奇数还是偶数是决定是否要 + 1的关键。）

 

   由此可见：

   m+n为偶数时：z = (m+n)/2 ≤ y；

   m+n为奇数时：z = (m+n-1)/2 < (m+n-1)/2 + 1 ≤ y；

   即z≤y；

 

②将集合B中大于等于y的元素插入到A中x的右边的类似方法可以证明得到x≤z，证明过程略。

   综上所述，可得x≤z≤y。证毕。

ps：前两天，一位G友问我的一道GRE数学题（新东方发的黄皮书笔试模考练习20页14题）涉及到这个问题，当时我只是简单的告诉她“新数组的中位数的值肯定处于组成它的那两个数组的中位数之间”这个直觉。当时真的只是直觉，她也觉得理所当然，但是没想到正儿八经地证明起来还是写了这么长。不管怎样，今天还是亲自证明了，免得想起总有种心虚的感觉^_^。

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